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La Lettre
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pour les grands entiers, cette méthode n’est absolument pas efficace, car elle demande beaucoup trop
de calculs pour un ordinateur. C’est sur cette difficulté calculatoire que reposent de nombreux procédés
de cryptage.
Puisque la suite des nombres premiers est parfaitement déterministe, existe-t-il une formule donnant la
valeur du n
ième
nombre premier en fonction de
n
? Malheureusement - ou heureusement pour le plaisir
de certains mathématiciens ! -, une telle formule n’existe pas, et c’est en réalité tout le contraire qui se
produit : à la lecture de la suite des nombres premiers, la première chose qui apparaît est que la pro-
portion de nombres premiers parmi les entiers plus petits que
x
devient de plus en plus petite. En fait, le
théorème des nombres premiers dit exactement que cette proportion se comporte comme 1/log(
x
), qui
tend vers 0 quand
x
tend vers +∞. Les nombres premiers semblent n’en faire qu’à leur tête, et ne suivre
absolument aucune règle, sauf satisfaire leur définition, bien entendu ! Quant aux nombres premiers
successifs, impossible de deviner la réponse à la question suivante : «
Si je connais un nombre premier,
quel est le suivant ?
» : ce nombre semble complètement aléatoire, comme s’il était tiré au hasard.
Ce comportement aléatoire apparaît concrètement dans des théorèmes d’équirépartition, comme celui
de la progression arithmétique de Dirichlet. Voici un exemple : observons le dernier chiffre dans l’écriture
d’un nombre premier
p
; dès que
p
≥ 7, alors ce dernier chiffre ne peut être que 1, 3, 7 ou 9, simplement
car
p
n’est pas divisible par 2 ou 5. Un cas particulier du théorème de Dirichlet dit que le dernier chiffre
des nombres premiers se répartit de manière uniforme entre 1, 3, 7 et 9, comme les lancers de dés - non
pipés ! - se répartissent uniformément entre 1 et 6.
La conjecture des nombres premiers jumeaux
Il est facile de montrer que l’écart entre deux nombres premiers peut être aussi grand que souhaité ; mais
il arrive aussi que deux nombres premiers soient séparés par un unique nombre entier, comme c’est le
