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ossier
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Le crible d’Érathostène
© DR
Bruno Duchesne
Institut Élie-Cartan, université de Lorraine
Les nombres premiers sont connus depuis des
millénaires, et pourtant ils restent mystérieux par bien
des aspects. Deux de ces mystères ont été en partie
résolus au cours de l’année dernière : il s’agit de
réponses à la « conjecture des nombres premiers
jumeaux » et à la « conjecture de Goldbach ».
Les nombres premiers sont ces nombres entiers
(supérieurs à 2) divisibles uniquement par 1 et par eux-
mêmes. Une liste peut en être dressée, qui commence de la manière suivante : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
etc. Leur principale propriété ? «
Tout nombre entier s’écrit comme un produit de nombres premiers, et
cela de manière unique
», si l’on ne tient pas compte de l’ordre dans l’écriture : par exemple, 84 s’écrit
2 x 2 x 3 x 7.
Dès l’Antiquité, ces nombres premiers ont
suscité un certain intérêt. Euclide donnait déjà
une jolie preuve de l’existence d’une infinité
de nombres premiers. Ératosthène nous a
légué un algorithme permettant de déterminer
la liste des nombres premiers plus petits qu’un
entier n : on écrit tous les nombres jusqu’à n,
et on raye successivement les multiples des
nombres qui n’ont pas déjà été rayés. Ceux
qui restent non rayés sont exactement les
nombres premiers. Ce
crible d’Érathostène
montre bien que la suite des nombres pre-
miers n’est pas aléatoire, puisqu’elle peut être
obtenue à l’aide d’un algorithme. Cependant,
Du nouveau sur les nombres premiers
