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ossier
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Les nombres premiers avant Euclide
Statue de Platon à
l’Académie d’Athènes
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À Athènes, en 400 avant JC, juste avant la mort
de Socrate, le très jeune Théétète donnait une
méthode générale pour montrer que les racines
carrées des nombres entiers sont irrationnelles,
sauf si ces nombres sont des carrés parfaits. Plus
tard, dans
Les Lois
, Platon donnait comme nombre
idéal de foyers dans une cité utopique le nombre de
5040. Quel rapport ? La décomposition de 5040 en
facteurs premiers est 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7, ce
qui indique tous les diviseurs et permet d’en donner
le nombre, 59 selon Platon. Aucun nombre plus pe-
tit n’a autant de diviseurs, or les divisions exactes
sont utiles, dans la « cité idéale », pour la réparti-
tion des moyens et des tâches. Évidemment, 5040 a été choisi à partir de sa décom-
position en facteurs premiers, donc même si Euclide n’était pas encore passé par là,les
nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers étaient connus. C’est une hypothèse
plausible qu’ils l’aient aussi été de Théétète, et qu’il ait raisonné ainsi : si
a = (b/c)
2
, alors
a
x
c
2
= b
2
,
et les décompositions en facteurs premiers montrent que
a
est un carré parfait.
Jean-Pierre Kahane
«
Ce qu’il faut fixer en premier lieu, c’est le volume numérique de la population, de combien de
personnes il est besoin qu’elle se compose. Après quoi, il y a lieu de se mettre d’accord sur la
répartition des citoyens et sur le nombre des sections selon lesquelles ils doivent être divisés, ainsi
que sur le nombre des individus dans chaque section... En vue de fixer un nombre qui convienne,
décidons que le nombre des chefs de famille sera de 5040, qui, cultivant le territoire, en sont
aussi les défenseurs. Que la terre ainsi que les résidences soient pareillement distribuées en un
même nombre de sections... Commençons donc par distribuer le nombre total en deux portions,
puis le même nombre en trois : en fait, il est dans la nature du nombre en question de se laisser
diviser en quatre, en cinq, et ainsi de suite, jusqu’à dix. Partant, quiconque institue des lois doit à
propos des nombres avoir réfléchi à la question de savoir quel est le nombre, et comment constitué,
qui sera le plus commodément utilisable pour toute organisation sociale : disons que c’est celui qui
possède intrinsèquement le plus grand nombre de divisions et sutout de divisions qui se suivent...
».
Platon.
Théétète
, 147 c, d, e ; 148 a, b -
Les Lois
, chapitre V, 736-8.
In
Bibliothèque de la Pléiade,
n°64, 1943.
Statue de Platon à
l’Académie d’Athènes
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cas pour 11 et 13, mais aussi pour 18 409 199 et 18 409 201 : de tels nombres premiers sont appelés
jumeaux. Ce phénomène ne se produit-il que quelques fois, par accident, ou en revanche une infinité
de fois ? Cette dernière hypothèse, qui affirme qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux,
constitue la
Conjecture des nombres premiers jumeaux
: conjecture, car si elle est présumée vraie,
personne n’en connaît de preuve.
