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La Lettre
●● 250 environ - D
iophante
●● 1640 - Pierre de F
ermat
●● 1733 - Leonhard E
uler
●● 1792 - Carl G
auss
●● 1859 - Bernhard R
iemann
●● 1896 - Jacques H
adamard
Les nombres premiers,
une longue histoire
Yitang Zhang
© Adenise Lopes - Académie des sciences
© DR
Une manière de reformuler la conjecture est de dire qu’il
existe une infinité de paires de nombres premiers dont la
différence est exactement 2. La difficulté de cette conjec-
ture - qui semble avoir été formulée pour la première fois en
1849, par Alphonse de Polignac - incite à se poser une autre
question
a priori
plus facile : «
Existe-t-il une borne
C
et une
infinité de paires de nombres premiers dont la différence est
inférieure à
C ? »
C’est à cette deuxième question que Yitang Zhang a répon-
du, en montrant que c’est vrai pour
C
= 70 000 000. Bien
sûr, il reste un long chemin pour aller de 70 000 000 à 2
et obtenir la conjecture des nombres premiers, mais cette
première étape est déjà remarquable. À la suite de la publi-
cation du résultat de Zhang, de nombreuses personnes ont
essayé de réduire la valeur de
C
. Un groupe de chercheurs, rassemblés autour de Terence Tao dans le
projet collaboratif Polymath 8, est parvenu à 252 - valeur la plus faible à ce jour, et si c’est bien confirmé.
Ils se sont bien sûr inspirés des travaux de Zhang, mais aussi des travaux de
James Maynard, un jeune post-doctorant qui a fait sensation en annonçant
600 comme borne.
Le résultat de Yitang Zhang a surpris la communauté, tant il était
admis que les méthodes qu’il employait ne pouvaient aboutir, mais
aussi en raison de son quasi-anonymat avant mai 2013, même parmi les
mathématiciens s’intéressant aux nombres premiers. Désormais, Zhang
passe une partie non négligeable de son temps à répondre à des interviews...
La conjecture de Goldbach
Une autre question devenue fameuse concerne
les propriétés additives des nombres premiers. Par
définition, les nombres premiers forment tous les
nombres entiers par multiplication entre eux. Qu’en
est-il pour l’addition ?
Dans une lettre de 1742 - parmi plus de 160 échan-
gées -, Christian Goldbach avançait au célèbre
Leonhard Euler l’idée suivante : «
Tous les nombres
entiers supérieurs à 2 peuvent s’écrire comme
somme d’au plus trois nombres premiers.
» Par
exemple, 51 = 3 + 19 + 29. Euler répondit qu’il
