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ossier
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Des marches aléatoires de 20 000 pas approximant le mouvement brownien en dimensions 2 et 3. À droite, les
projections orthogonales de la trace brownienne sont représentées sur les faces de la boîte.
© DR
Wendelin Werner
© B.Eymann - Académie des sciences
Des marches aléatoires peuvent être définies de manière similaire dans le plan ou dans l’espace. Dans le
plan, la particule choisit et avance d’une unité, à chaque pas, dans une direction nord, sud, est ou ouest
avec une probabilité 1/4 ; dans l’espace (de dimension 3), il y a 6 directions possibles. La marche aléatoire
dans le plan donne alors naissance, à la limite, au mouvement brownien plan dont Paul Lévy s’enticha et
qui est encore de nos jours source de nombreux problèmes ouverts.
Et maintenant, qu’allons-nous faire ?
Clé de voûte de la théorie des probabilités modernes, le mouvement
brownien a été étudié de manière intensive durant les cinquante dernières
années. C’est d’ailleurs en partie pour récompenser ses résultats
sur le mouvement brownien plan que Wendelin Werner, membre de
l’Académie des sciences, a reçu la médaille Fields en 2006, pour
la première fois décernée à un probabiliste. Outre ses nombreuses
applications dans tous les domaines des mathématiques, le brownien
vient jeter un regard nouveau sur l’électrostatique, permet la résolu-
tion de l’équation de la chaleur et modélise de nombreux phénomènes
physiques et biologiques. Son utilisation effrénée au début des années
2000 dans des modèles financiers l’a même fait passer, bien sûr à tort,
pour une des causes de la crise économique actuelle !
