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La Lettre
Pour en savoir plus
●● B. Duplantier. Le mouvement brownien,
« divers et ondoyant ». Séminaire
Poincaré, 2005 ; 1 : 155-212
●● Voir des images de triangulations
aléatoires en 3D manipulables sur le site
.
Triangulation aléatoire © Nicolas Curien - Mathematica
Le concept de marche aléatoire intervient également de manière beaucoup plus cocasse
dans notre vie de tous les jours. En effet, l’algorithme
PageRank
de classement des pages
Web de l’omniprésent moteur de recherche Google
®
utilise une marche aléatoire sur le graphe
du Web. Ce graphe est un immense réseau en constante évolution où chaque page Internet repré-
sente un sommet et chaque lien hypertexte une arête. L’algorithme exact
PageRank
est bien entendu
très compliqué et jalousement protégé par la firme californienne, mais l’idée de base est que les pages
le plus souvent visitées par la marche aléatoire sur le graphe du Web sont les pages auxquelles Google
®
accorde le plus d’importance.
Le mouvement brownien garde encore bien des secrets et son étude future promet d’être fructueuse.
En témoignent les travaux mathématiques récents de Thierry Bodineau, Isabelle Gallagher et Laure
Saint-Raymond (reçue en juin de cette année à l’Académie des sciences) sur l’apparition rigoureuse
du mouvement brownien comme le déplacement d’une particule marquée dans un gaz de particules
solides entrant en collisions élastiques. Un autre exemple est le tout nouveau champ de recherche créé
au début des années 2000 : en lien avec la théorie de la gravité quantique en dimension 2, les mathé-
maticiens tentent de donner un sens à ce que serait une surface brownienne par opposition aux courbes
browniennes étudiées jusqu’alors. Suivant l’approche exposée ci-dessus, une voie possible serait
de considérer des discrétisations de plus en plus grandes de cette surface aléatoire. Les marches
aléatoires sont alors remplacées par des triangulations aléatoires, c’est-à-dire des recollements
aléatoires de triangles sur la sphère (voir figures en couverture de ce numéro, en page 19 et
ci-dessous). En passant à la limite quand le nombre de triangles devient infini, Jean-François Le Gall (reçu
également à l’Académie des sciences en juin) et Grégory Miermont ont récemment posé les bases de la
théorie des surfaces browniennes. Gageons que l’étude de ces surfaces sera aussi prolifique que celle du
mouvement brownien !
